Система и совокупность неравенств с одной переменной

Решение системы неравенств.

Решением системы неравенств называют такие значения переменной, которые являются решениями сразу всех неравенств, входящих в эту систему.

Решить систему неравенств – значит найти решения для всей системы, либо доказать, что у данной системы решений нет.

Чтобы решить систему неравенств с одной переменной, надо:

1) отдельно решить каждое неравенство;

2) найти пересечение найденных решений.

Это пересечение и является множеством решений системы неравенств.

Пример: Решите систему неравенств

|4x + 4 ≥ 0
|6 – 4x ≥ 0

Решение:

|4x ≥ –4
|–4x ≥ –6

  ↓

|x ≥ –4 : 4
|x ≥ –6 : (–4)

  ↓

|x ≥ –1
|x ≥ 1,5

Ответ: [–1; 1,5]

Решение совокупности неравенств.

Решением совокупности неравенств называют такие значения переменной, которые являются верными хотя бы для одного из этих неравенств.

Чтобы решить совокупность неравенств с одной переменной, надо:

1) отдельно решить каждое неравенство;

2) найти объединение найденных решений.

Это объединение и является решением совокупности неравенств.

Пример: Решите совокупность неравенств

|5x + 6 ≤ 1
|2x + 1 ≥ 3

Решение:

|5x ≤ 1 – 6
|2x ≥ 3 – 1

  ↓

|5x ≤ –5
|2x ≥ 2

  ↓

|x ≤ –5 : 5
|x ≥ 2 : 2

  ↓

|x ≤ –1
|x ≥ 1

Ответ: (-∞; -1] U [1; ∞)