Показательные уравнения и неравенства

Показательное уравнение.

Показательное уравнение – это уравнение вида a^f(x) = a^d(x), где а – положительное число, отличное от 1.

Уравнения, сводящиеся к этому виду, тоже считаются показательными.

Пример:

Решим уравнение 2^{2х – 4} = 64.

Решение.

Представим 64 в виде 2⁶. Тогда:

2^{2х – 4} = 2⁶.

Мы получили одинаковое значение основания в левой и правой частях уравнения (число 2). Значит, можем убрать основания, получив равносильное уравнение, и решить его:

2х – 4 = 6

2х = 6 + 4 = 10

х = 10 : 2

х = 5.

Показательное неравенство.

Показательное неравенство – это неравенство вида a^f(x) > a^d(x), где а – положительное число, отличное от 1.

Неравенства, сводящиеся к этому виду, тоже считаются показательными.

Пример 1:

Решим неравенство 3^{х + 2} > 81

Решение:

Представим 81 в виде 3⁴. Тогда:

3^{х + 2} < 3⁴.

Теперь в обеих частях неравенства одинаковое основание 3. Оно больше 1. Значит, заменяем неравенство равносильным неравенством того же смысла и решаем его:

х + 2 < 4

х < 4:2

х < 2.

Пример 2:

Решим неравенство 0,5^{х – 3} < 0,25.

Решение:

Представим 0,25 в виде 0,5². Тогда:

0,5^{х – 3} < 0,5².

Теперь у нас одинаковое основание в обеих частях неравенства: 0,5. Это число меньше 1. Значит, заменяем неравенство на равносильное неравенство с противоположным смыслом и решаем его:

х – 3 > 2

х > 2 + 3

x > 5.