Способы решения выражений
Решение с применением формул сокращенного умножения.
Пример: Выполните умножение:
x3 + 8 x2 – 4x + 4
(———) · ( —————)
x – 2 x2 – 2x + 4)
Решение.
Здесь нам не обойтись без формул сокращенного умножения. Для этого:
1) x3 + 8 представляем в другом виде: x3 + 23
2) второй числитель преобразуем следующим образом: x2 – 4x + 4 = (x – 2)( x – 2).
Тогда получаем тождественное выражение, в котором уже можем произвести сокращения:
x3 + 23 (x – 2)(x – 2)
——— · ——————
x – 2 x2 – 2x + 4
Наше выражение обрело другой вид:
(x3 + 23) (x – 2)
———————
x2 – 2x + 4
Преобразуем выражение x3 + 23, применив к нему формулу сокращенного умножения:
x3 + 23 = (x + 2) (x2 – 2x + 4)
Применим это выражение и произведем новое сокращение, которое приведет нас к окончательному решению:
(x + 2) (x2 – 2x + 4) (x – 2)
——————————— = (x + 2) (x – 2) = x2 – 4.
x2 – 2x + 4
Ответ: x2 – 4
Решение способом группировки:
Пример: Выполните деление:
b3 + 3b2 + 3b + 1 1
——————— : (—— + 1)
b b
Решение.
Сначала приведем к одночлену делитель:
1 1 1 b + 1
— + 1 = — + — = ——
b b 1 b
Теперь произведем деление. Для этого перевернем делитель и умножим его на делимое. Произведем сокращение и получим новый вид нашего выражения:
b3 + 3b2 + 3b + 1 b + 1 b3 + 3b2 + 3b + 1 b b3 + 3b2 + 3b + 1
——————— : ——— = ——————— · ——— = ———————
b b b b + 1 b + 1
Применим метод группировки. Поскольку число 1 в любой степени равно 1, то можем написать его в третьей степени и произвести следующую группировку:
(b3 + 13) + (3b2 + 3b)
—————————
b + 1
Разложим b3 + 13 по формуле сокращенного умножения, а в выражении 3b2 + 3b найдем общий множитель и вынесем его за скобку:
(b3 + 13) + (3b2 + 3b) (b + 1) (b2 – b + 1) + 3b(b + 1)
————————— = —————————————
b + 1 b + 1
Выражения 3b и (b2 – 2b + 1) получили общий множитель: b + 1. Значит, можем их сгруппировать:
(b2 – b + 1 + 3b) (b + 1) (b2 + 2b + 1) (b + 1)
—————————— = ————————
b + 1 b + 1
Сокращаем множитель b + 1 и аналогичный знаменатель и получаем ответ:
(b2 + 2b + 1) (b + 1)
———————— = b2 + 2b + 1 = (b + 1)2
b + 1
Ответ: (b + 1)2
Решение методом введения новой переменной.
Пример: Решите уравнение (x2 – 6x)2 + 2(x – 3)2 = 81.
Решение.
Первым делом напрашивается мысль разложить выражения в левой части по формуле сокращенного умножения. Но на самом деле целесообразно разложить только одно из двух выражений – а именно второе. Так мы и поступим:
2(х – 3)2 = 2(х2 – 6х + 9)
Таким образом, наше уравнение обретает следующий вид:
(x2 – 6x)2 + 2(х2 – 6х + 9) = 81.
Мы видим, что в уравнении дважды встречается выражение x2 – 6x. Значит, можем применить метод введения новой переменной. Заменим это выражение переменной у, затем раскроем скобки:
у2 + 2(у +9) = 81
у2 + 2у + 18 = 81
Число 81 перенесем в левую часть уравнения и приравняем уравнение к нулю. Тогда мы получим обычное квадратное уравнение:
у2 + 2у – 63 = 0
Решим его. Для этого сначала пишем себе коэффициенты уравнения:
а = 1, b = 2, c = -63.
Находим дискриминант:
D = b2 – 4ac = 4 – 4 · 1 · (-63) = 256
Находим корень из дискриминанта:
√256 = 16
Теперь находим значения у:
- b + √D -2 + 16
у1 = ————— = ———— = 7
2а 2
- b – √D -2 – 16
у2 = ————— = ———— = -9
2а 2
Переменной у мы заменяли выражение x2 – 6x. А значит, мы уже можем найти значения х – и тем самым решить наш пример.
Итак, если x2 – 6x = у, то:
x2 – 6x = 7
x2 – 6x = -9
Снова приравняем эти уравнения к нулю – и снова получим квадратные уравнения:
x2 – 6x – 7 = 0
x2 – 6x + 9 = 0.
Решив их, мы обнаружим, что наше исходное уравнение имеет три корня: -1; 3 и 7. Пример решен.
Ответ: -1; 3; 7
Решение с помощью формулы xn – 1 = (x – 1) (xn-1 + xn-2+ … + x + 1).
Пример: Выполните вычитание:
(x5 – 1)
Решение:
(x5 – 1) = (x – 1) (x4 + x3 + x2 + x + 1).