Логарифмические уравнения и неравенства

Логарифмическое уравнение.

Определение:

Правило:

Пояснение:

В процессе решения логарифмического уравнения log_a b(x) = log_a c(x) надо просто убрать значки логарифмов и решить получившееся упрощенное уравнение b(x) = c(x).

Важно знать:

1) Если в уравнении разные основания, то логарифмы убирать нельзя. В левой и правой частях уравнения должны быть одинаковые основания. Возьмем для примера уравнение:

log₅ (3x – 8) = log₅ (x + 2).

Здесь слева и справа одинаковое основание 5. Значит, можно убрать значки логарифмов и привести уравнение к более простому и понятному виду:

3x – 8 = х + 2.

Если основания неодинаковы, необходимо преобразовать одно из выражений так, чтобы основания стали одинаковыми – и только после этого уравнение можно потенцировать.

2) Даже если основания слева и справа одинаковые, но в уравнении есть коэффициент, то  в этом случае тоже убирать логарифмы нельзя. К примеру, нельзя потенцировать уравнение такого типа:

3log₂ b = log₂ 25b.

Мешает коэффициент 3 в левой части. Поэтому уравнение надо преобразовать так, чтобы коэффициент исчез. В нашем уравнении, применив одно из свойств логарифмов log_a bⁿ = n · log_a b, мы можем преобразовать выражение слева:

3log₂ b = log₂ b³.

Тогда наше уравнение обретает другой вид:

 log₂ b³ = log₂ 25b.

Теперь мы имеем одинаковые основания (число 2), и уравнение без коэффициентов. Значит, уже легко можем убрать значки логарифмов:

b³ = 25b.

И такое уравнение решать намного проще:

b³ : b = 25

b^{3 – 1} = 25

b² = 25

b = √25 = 5

3) Даже при одинаковых основаниях и отсутствии коэффициентов нельзя потенцировать уравнение, если в какой-то из его частей больше одного логарифма. Например, нельзя убирать логарифмы в уравнении

log₂ x + log₂ (x + 1) = log₂ (х + 9).

В левой части два логарифма. Надо сначала преобразовать ее. Для этого воспользуемся еще одним правилом: сумма логарифмов равна логарифму произведения. Итак, преобразовываем левую часть уравнения:

log₂ x + log₂ (x + 1) = log₂ x (х + 1) = log₂ x² + х.

У нас получилось выражение с одним логарифмом. А наше уравнение принимает новый вид:

log₂ x² + х = log₂ (х + 9).

И мы уже можем убрать значки логарифмов:

x² + х = х + 9

Решаем это простое уравнение:

х² + х – х = 9

х²  = 9

х = √9 = 3.

Пример.

Решим уравнение

log₃ (x² – 3x – 5) = log₃ (7 – 2x).

Решение.

1) Поскольку основания в левой и правой частях одинаковые (равны 3), то мы можем освободиться от знаков логарифмов и прийти к уравнению вида b(x) = c(x):

x² – 3x – 5 = 7 – 2x

2) Приравниваем уравнение к нулю и получаем квадратное уравнение:

x² – 3x – 5 – 7 + 2x = 0

x² – x – 12 = 0

Решив квадратное уравнение, находим его корни:

x₁ = 4, x₂ = –3.

3) Проверим, при каком из двух значений х уравнение имеет смысл.

Мы уже знаем, что логарифмическое уравнение равносильно уравнению b(x) = c(x) только в том случае, если b(x) > 0 и c(x) > 0. Следовательно, выводим два неравенства:

x² – 3x – 5 > 0,

7 – 2x > 0.

При х = 4 неравенства неверны. Значит, 4 не является решением уравнения.

При х = –3 неравенства верны. Значит, 3 является единственным решением уравнения.

Логарифмическое неравенство.

Определение:

Правило:

Для решения логарифмических неравенств log_a b(x) > log_a c(x) обычно применяют систему неравенств следующего вида:

 
Обратите внимание: первые два неравенства одинаковы в обеих системах. Различаются по смыслу только третьи неравенства.

Пример.

Решим неравенство log₃ (2x – 4) > log₃ (14 – x).

Решение.

1) В основании обеих частей уравнения – одно и то же число 3. Значит, можем убрать значки логарифмов. Поскольку 3 больше 1, то, следуя правилу, составляем следующую систему неравенств:

│ 2x – 4 > 0
│14 – x > 0
│2x – 4 > 14 – x.

Решаем неравенства и получаем:

│x > 2
│x < 14
│x > 6

Мы видим, что х больше не только двух, но и больше шести. Значит, неравенство x > 2 мы уже в расчет не берем: если х больше 6, то естественно и больше 2. Таким образом, для нас важны только два других неравенства, согласно которым х больше 6, но меньше 14. Это и есть ответ:

6 < x < 14.