Четные и нечетные функции. Периодические функции
Четная функция.
Четной называется функция, знак которой не меняется при изменении знака x.
Говоря иначе, для любого значения x выполняется равенство f(–x) = f(x). Знак x не влияет на знак y.
График четной функции симметричен относительно оси координат (рис.1).
Примеры четной функции:
y = cos x
y = x2
y = –x2
y = x4
y = x6
y = x2 + x
Пояснение:
Возьмем функцию y = x2 или y = –x2.
При любом значении x функция положительная. Знак x не влияет на знак y. График симметричен относительно оси координат. Это четная функция.
Нечетная функция.
Нечетной называется функция, знак которой меняется при изменении знака x.
Говоря иначе, для любого значения x выполняется равенство f(–x) = –f(x).
График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис.2).
Примеры нечетной функции:
y = sin x
y = x3
y = –x3
Пояснение:
Возьмем функцию y = –x3.
Все значения у в ней будут со знаком минус. То есть знак x влияет на знак y. Если независимая переменная – положительное число, то и функция положительная, если независимая переменная – отрицательное число, то и функция отрицательная: f(–x) = –f(x).
График функции симметричен относительно начала координат. Это нечетная функция.
Свойства четной и нечетной функций:
1) Сумма четных функций является четной функцией. 2) Если функция f четна, то и функция 1/f четна. 3) Произведение двух четных функций является четной функцией. 4) Произведение четной и нечетной функции является нечетной функцией. 5) Производная четной функции нечетна, а нечетной — четна. |
ПРИМЕЧАНИЕ:
Не все функции являются четными или нечетными. Есть функции, которые не подчиняются такой градации. К примеру, функция корня у = √х не относится ни к четным, ни к нечетным функциям (рис.3). При перечислении свойств подобных функций следует давать соответствующее описание: ни четна, ни нечетна.
Периодические функции.
Как вы знаете, периодичность – это повторяемость определенных процессов с определенным интервалом. Функции, описывающие эти процессы, называют периодическими функциями. То есть это функции, в чьих графиках есть элементы, повторяющиеся с определенными числовыми интервалами.