Монотонность функции
Возрастающие и убывающие функции объединяют общим понятием: монотонные функции.
Монотонная функция – это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.
Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Говоря иначе, если при возрастании значения x значение y тоже возрастает, то это возрастающая функция.
Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Говоря иначе, если при возрастании значения x значение y убывает, то это убывающая функция.
Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.
Функция постоянна (немонотонна), если она не убывает и не возрастает.
Свойства монотонных функций:
1) Сумма нескольких возрастающих функций является возрастающей функцией. 2) Произведение неотрицательных возрастающих функций есть возрастающая функция. 3) Если функция f возрастает и сохраняет знак, то функция 1/f убывает. 4) Если функция f возрастает и неотрицательна, то fn тоже возрастает (n ∈ N). 5) Композиция g (f (x)) возрастающих функций f и g также возрастает. 6) Если функция f возрастает, то функции cf (c > 0) и f + c также возрастают, а функция cf (c < 0) убывает (c – некоторая константа). |
Производная и монотонность функции.
Зависимость между знаком производной и характером монотонности:
Если на промежутке Х функция возрастает и имеет на нем производную, то производная неотрицательна. Если на промежутке Х функция убывает и имеет на нем производную, то производная неположительна. |
Условия возрастания или убывания функции y = f(x):
Функция возрастает, если во всех точках открытого промежутка Х производная f ′(x) больше нуля: f ′(x) > 0. Говоря проще, функция возрастает, если производная положительна. Примечание: Равенство f ′(x) = 0 либо выполняется лишь в конечном множестве точек, либо не выполняется вовсе. Функция убывает, если во всех точках открытого промежутка Х производная f ′(x) меньше нуля: f ′(x) < 0. Говоря проще, функция убывает, если производная отрицательна. Примечание: равенство f ′(x) = 0 либо выполняется лишь в конечном множестве точек, либо не выполняется вовсе. |
Условие существования постоянной функции:
Функция y = f(x) постоянна на промежутке Х, если во всех точках этого промежутка производная
f ′(x) равна нулю: f ′(x) = 0 |
Монотонность некоторых функций:
Функция
|
Производная
|
Монотонность
|
Линейная функция
y = ax + b
|
y' = a
| При a > 0 возрастает При a < 0 убывает. При a = 0 постоянна. |
Прямая пропорциональность
y = kx (k ≠ 0)
|
y' = k
| При k > 0 возрастает. При k < 0 убывает. |
Обратная пропорциональность k
y = —— (k ≠ 0)
x |
k
y' = – ——
x2 | При k > 0 убывает на (–∞; 0) и (0; +∞). При k < 0 возрастает на (–∞; 0) и (0; +∞) |
Квадратичная функция y = ax2 + bx + c | y' = 2ax + b | При a > 0 убывает на (–∞; –b/2a]
и возрастает на [–b/2a; +∞). При a < 0 возрастает на (–∞; –b/2a]
и убывает на [–b/2a; +∞). |
Функция корня y = √x | 1
y' = ——
2√x |
Возрастает на промежутке [0; +∞)
|
