Дробно-линейная функция и ее график

                                                                                        ax + b
Дробно-линейная функция – это функция вида y = ——— ,
                                                                                         cx + d

где x – переменная, a, b, c, d – некоторые числа, причем c ≠ 0, ad – bc ≠ 0.

Свойства дробно-линейной функции:

Графиком дробно-линейной функции является гипербола, которую можно получить из гиперболы y = k/x с помощью параллельных переносов вдоль координатных осей. Для этого формулу дробно-линейной функции надо представить в следующем виде:

                 k
y = n + ———
             x – m

где n – количество единиц, на которое гипербола смещается вправо или влево,  m – количество единиц, на которое гипербола смещается вверх или вниз. При этом асимптоты гиперболы сдвигаются в прямые x = m, y = n.

Асимптота – это прямая, к которой приближаются точки кривой по мере их удаления в бесконечность (см.рисунок ниже).

Что касается параллельных переносов – см.предыдущие разделы.

Пример 1. Найдем асимптоты гиперболы и построим график функции:

        x + 8
y = ———
        x – 2

Решение:

                                                       k
Представим дробь в виде n + ———
                                                    x – m

Для этого x + 8 запишем в следующем виде: x – 2 + 10 (т.е. 8 представили в виде –2 + 10).

Получим:

  x + 8          x – 2 + 10          1(x – 2) + 10                 10
———  =  —————  =  ——————  =  1 + ———
  x – 2             x – 2                      x – 2                      x – 2

Почему выражение приняло такой вид? Ответ простой: произведите сложение (приведя оба слагаемых к общему знаменателю), и вы вернетесь к предыдущему выражению. То есть это результат преобразования заданного выражения.

Итак, мы получили все необходимые значения:

k = 10, m = 2, n = 1.

Таким образом, мы нашли асимптоты нашей гиперболы (исходя из того, что x = m, y = n):

x = 2, y = 1.

То есть одна асимптота гиперболы проходит параллельно оси y на расстоянии 2 единиц справа от нее, а вторая асимптота проходит параллельно оси x на расстоянии 1 единицы выше ее.

Построим график данной функции. Для этого сделаем следующее:

1) проведем в координатной плоскости пунктиром асимптоты – прямую x = 2 и прямую y = 1.

2) так как гипербола состоит из двух ветвей, то для построения этих ветвей составим две таблицы: одну для x<2, другую для x>2.

Сначала подберем значения x для первого варианта (x<2). Если x = –3, то:

                10
 y = 1 + ——— = 1 – 2 = –1
               –3 – 2

Выбираем произвольно другие значения x (например, -2, -1, 0 и 1). Вычисляем соответствующие значения y. Результаты всех полученных вычислений вписываем в таблицу:

Теперь составим таблицу для варианта x>2:

3) Далее просто составляете график функции с полученными координатами.