Градусная и радианная меры угла. Градусы, радианы и их соотношение
Определения.
Градусная мера угла – это величина угла в градусах.
Пример: прямой угол равен 90º.
Радианная мера угла – это величина угла в радианах.
Пример: прямой угол равен π/2 радиан.
Углом в 1 радиан называют центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности (см.рисунок).
|
В тригонометрии обычно пользуются радианной мерой, так как она удобнее.
Соотношение градуса и радиана:
π
| 180º
|
Величина 1 радиана в градусах:
Угол в 1 радиан равен ≈ 57,3º: 180º 180º |
Длина дуги 1 радиана:
Длина дуги 1 радиана равна радиусу окружности |
Формулы для определения градусов и радиан:
π
где π ≈ 3,14 | 180º
где π ≈ 3,14 |
Пример 1 (как выразить градусы в радианах):
π 30 π π
30º = 30 · —— = ———— = — рад.
180 180 6
π 2 π 2 · 3,14
72º = 72 · —— = —— = ———— ≈ 1,3 рад.
180 5 5
Пример 2 (как выразить радианы в градусах):
2π 2π 180º 2 · 180
—— рад = —— · ——— = ——— = 120º
3 3 π 3
180º 630º
4,5 рад = 3,5 · —— = ——— ≈ 200,5º
π 3,14
На числовой окружности развернутый угол приравнивают к π: 180º = π. Почему?
Вообще перед нами – сокращенное обозначение этого тождества. Его полная формулировка такова:
180º = π рад.
О чем это говорит?
Мы знаем, что π ≈ 3,14, а 1 радиан ≈ 57,3º.
«π рад» означает умножение одного π на один радиан. А их произведение как раз и равно 180º:
3,14 · 57,3 ≈ 180º.
Слово «рад» опускаем – и получаем знакомое нам тождество: 180º = π или π = 180º.
ВАЖНО ЗНАТЬ:
Для удобства при использовании радианной меры слово «рад» практически всегда опускают:
не «2π рад», а «2π»;
не «π/3 рад», а «π/3».
Примеры:
sin 2 означает: синус угла в два радиана.
cos (-1,5) означает: косинус угла в минус 1,5 радиана.
tg π/4 означает: тангенс угла в π/4 радиана.
Вообще записи sin x, cos x, tg x, ctg x означают синус, косинус, тангенс или котангенс угла, равного x радианам.