Тангенс сложения аргументов

Как мы получили эти формулы?

При всей кажущейся сложности решение простое. Мы покажем только решение для тангенса сложения аргументов: решение для тангенса разности такое же.
Итак…

Как вы знаете, тангенс – это отношение синуса к косинусу. Пишем эту дробь, затем применяем формулу синуса сложения аргументов (см.предыдущий раздел):

                       sin (x + y)           sin x cos y + cos x sin y
tg (x + y) = —————— = ———————————
                      cos (x + y)           cos x cos y – sin x sin y

Делим все части выражения на cos x cos y, чтобы привести выражение к более удобному для нас виду. Сокращаем подобные члены и приходим к решению:

   sin x cos y         cos x sin y
 ————— + —————
  cos x cos y       cos x cos y            tg x + tg y
———————————— = ——————
cos x cos y         sin x sin y           1 – tg x · tg y
————— – —————
 cos x cos y       cos x cos y

ПРИМЕЧАНИЕ:

При решении конкретных задач важно помнить, что задача имеет смысл лишь в том случае, если в процессе решения знаменатели нигде не оказываются равны нулю.

В заключение решим один пример по теме.

Пример: Вычислить tg 15º.

Решение.

Представим 15º в виде 45º – 30º. Вычислим синусы и косинусы этих углов:

                    π         √2
sin 45º = sin —  =  ——
                    4           2

                    π       1
sin 30º = sin — = —
                    6       2

                       π         √2
cos 45º = cos —  =  ——
                       4          2

                       π       √3
cos 30º = cos — = ——
                       6        2

Теперь найдем тангенс 45º:

               √2        √2
tg 45º = —— : ——  =  1
                2         2

Найдем тангенс 30º:

              1       √3      1        2         1             1 ∙ √3         √3
tg 30º = — : —— = — ∙ —— = ——  =  ———— = ——
              2        2        2      √3       √3          √3 ∙ √3          3

Мы уже можем применить формулу тангенса разности аргументов, так нам стали известны значения двух тангенсов. Следуя этой формуле, получаем следующее выражение:

          √3
  1 – ——
           3
——————
         √3
  1 + ——
           3

Получилось сложное выражение, поэтому будем действовать, «разбив» его на части.

Сначала приведем числитель этого выражения к общему знаменателю и преобразим его:

        √3        3 – √3
1 – —— = ————
         3             3

Теперь приведем к общему знаменателю знаменатель нашего выражения:

         √3        3 + √3
1 + —— = ————
          3             3

Формула требует разделить первое полученное выражение на второе – то есть найти соотношение числителя и знаменателя:

                            3 – √3      3 + √3     3 – √3          3            3 – √3
tg (45º – 30º)  =  ——— : ——— = ———  ∙  ———  =  ———
                                3             3              3           3 + √3        3 + √3

Упростим дробь, умножив числитель и знаменатель на 3 – √3:

(3 – √3) (3 – √3)            9 – 6√3 + 3        12 – 6√3            6 (2 – √3)
———————  =   —————— = —————  =  —————  = 2 – √3
(3 + √3) (3 – √3)               9 – 3                     6                         6

Пример решен.