Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения
Формулы преобразования сумм в произведения:
x + y x – y sin (x – y) sin (x + y) –sin (x – y) |
1) Объясним первую формулу:
x + y x – y
sin x + sin y = 2 sin ——— cos ———
2 2
Она поучена из формул синуса сложения и разности аргументов:
sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
sin (α – β) = sin α cos β – sin β cos α.
Сложим две формулы:
sin (α + β) + sin (α – β) = sin α cos β + sin β cos α + sin α cos β – sin β cos α = 2 sin α cos β.
Таким образом,
sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β.
К этой формуле вернемся в конце наших вычислений.
Теперь введем новые переменные:
вместо α + β напишем х,
вместо α – β напишем у.
Тогда:
sin х + sin у = 2 sin α cos β.
В то же время, введя новую переменную, мы получили систему уравнений. Решим ее методом алгебраического сложения:
│α + β = х
│α – β = у
│α + β + α – β = х + у
│α + β – α + β = х – у
│2α = х + у
│2β = х – у
│ х + у
│α = ———
│ 2
│
│ х – у
│ β = ———
│ 2
Вернемся к полученной нами сумме двух формул сложения аргументов: sin х + sin у = 2 sin α cos β. Осталось подставить в них полученные значения α и β, чтобы в итоге получить нашу формулу:
x + y x – y
sin x + sin y = 2 sin ——— cos ———
2 2
2) Вторая формула из таблицы логически вытекает из первой и доказывается просто.
Вспомним свойство нечетности синуса: sin (–y) = –sin y.
Из этого следует, что sin x – sin y = sin x + (–sin y). Следовательно:
x + (–y) x – (–y) х – у х + у
sin x + (–sin y) = 2 sin ———— cos ———— = 2 sin ——— cos ———.
2 2 2 2
Таким образом:
x – y x + y
sin x – sin y = 2 sin ——— cos ———
2 2
Аналогично преобразуются в произведение суммы косинусов.
Преобразуем еще суммы тангенсов и котангенсов. Порядок прост: представляем тангенсы и котангенсы как отношение синусов и косинусов, находим для полученных дробей общий знаменатель и применяем формулы сложения. То есть совершаем всего три действия:
sin x sin y sin x cos y + cos x sin y sin (x + y)
tg x + tg y = ——— + ——— = ———————————— = ——————
cos x cos y cos x cos y cos x cos y
cos x cos y cos x sin y + sin x cos y sin (x + y)
ctg x + ctg y = ——— + ——— = ———————————— = ——————
sin x sin y sin x sin y sin x sin y
Преобразование разностей в произведение осуществляется таким же образом.
Остальные формулы, приведенные в таблице, тоже тесно связаны с другими формулами тригонометрии. Попробуйте вычислить их самостоятельно.
Решим несколько примеров.
Пример 1. Упростить выражение
sin 60º + sin 30º.
Решение.
60º + 30º 60º – 30º
sin 60º + sin 30º = 2 sin ————— cos ————— = 2 sin 45º cos 15º =
2 2
√2
= 2 · —— cos 15º = √2 cos 15º.
2
Ответ: sin 60º + sin 30º = √2 cos 15º.
Пример 2. Упростить выражение
sin 60º – sin 30º.
Решение.
45º – 15º 45º + 15º
sin 45º – sin 15º = 2 sin ————— cos ————— = 2 sin 15º cos 30º =
2 2
√3
= 2 sin 15º · —— = √3 sin 15º.
2
Ответ: sin 45º – sin 15º = √3 sin 15º.