Вычисление основных тригонометрических формул

Формулы тригонометрии взаимосвязаны и вытекают одна из другой. Вы легко сможете самостоятельно вычислять многие из них, зная основное тригонометрическое тождество и формулы сложения аргументов.

Пример.

Возьмем формулу косинуса сложения аргументов:

cos (x + y) = cos x cos y – sin x sin y.

1) Пусть второй множитель в ней тоже равен х. Тогда:

cos (x + х) = cos x cos х – sin x sin х = cos² x – sin² x.

Но cos (x + х) = cos 2х. Следовательно, мы пришли к формуле двойного аргумента:

cos 2x = cos² x – sin² x.

2) К полученной формуле применим основное тригонометрическое тождество
cos² x + sin² x = 1. Преобразуем с его помощью sin² x и придем к новой формуле:

cos 2x = cos² x – (1 – cos ² x) = cos² x – 1 + cos ² x = 2 cos ² x – 1.

Мы получили еще одну формулу двойного аргумента:

cos 2x = 2 cos ² x – 1.

3) Из полученной формулы двойного аргумента выведем значение cos² x  и в результате получим формулу понижения степени:

2 cos² x = 1 + cos 2x,

                1 + cos 2x
cos² x = —————
                      2

4) В полученной формуле понижения степени разделим х на 2. В результате мы придем к формуле половинного аргумента:

            х          1 + cos х
cos² —— = —————
           2               2

Примечание.

С такой же последовательностью можно вычислить соответствующий ряд формул для синуса – а значит, и весь ряд формул для тангенса и котангенса.