Формулы приведения для тригонометрических функций
Формулы приведения – это формулы, позволяющие упростить сложные выражения тригонометрической функции.
Выражения типа π + t, 3π/2 – t, π/2 + t и т.п. можно упростить настолько, что они будут состоять лишь из одного аргумента t. В предыдущих разделах мы имели дело с несколькими такими упрощениями – например, sin (π + t) = –sin t.
Формул приведения очень много. Запомнить их трудно – но самое главное, в этом нет необходимости. Достаточно запомнить одно-единственное правило – и вы легко сможете самостоятельно выводить формулы и упрощать выражения.
Правило приведения:
Для выражений | Для выражений |
1) В приведенном выражении следует сохранить тригонометрическую функцию преобразуемого выражения. 2) Перед полученной функцией следует поставить тот знак, который имела бы преобразуемая функция при условии, что 0 < t < π/2. | 1) В приведенном выражении следует изменить тригонометрическую функцию преобразуемого выражения на противоположную. 2) Перед полученной функцией следует поставить тот знак, который имела бы преобразуемая функция при условии, что 0 < t < π/2. |
Обратите внимание: в левом и правом столбцах различаются только первые пункты правила. Вторые пункты абсолютно идентичны.
Пример 1: Надо преобразовать выражение cos (π + t).
Решение.
Следуем правилу:
1) Выражение не имеет дроби – значит, применяем левое правило. То есть функция после приведения остается прежней:
cos (π + t) = cos t.
2) Осталось определиться со знаком полученной функции.
Если предположить, что аргумент t больше нуля и меньше π/2, то π + t – это аргумент третьей четверти (то есть отмерили полукруг от точки А, а потом еще прошли дугу t длиной меньше π/2 и оказались в третьей четверти). А в третьей четверти косинус имеет знак минус. Значит, после преобразования наша функция обрела следующий тождественный вид:
cos (π + t) = –cos t.
Пример решен.
Пример 2: Надо преобразовать выражение sin (3π/2 – t).
Решение.
Следуем правилу:
1) Выражение имеет дробь – поэтому применяем правое правило. То есть функция меняется на обратную:
sin (3π/2 – t) = cos t
2) Теперь выясним, с каким знаком должно быть наше приведенное выражение. Снова предположим, что 0 < t < π/2. Тогда аргумент 3π/2 – t находится в третьей четверти. А в третьей четверти преобразуемая функция синус имеет знак минус. Значит, наше новое тождественное выражение тоже со знаком минус:
sin (3π/2 – t) = –cos t.
Пример решен.
Следуя этому правилу, можно составить другие формулы приведения.
Формулы приведения.
cos (π + t) = –cos t | sin (π + t) = –sin t | tg (π + t) = tg t | ctg (π + t) = ctg t |
cos (π – t) = –cos t | sin (π – t) = sin t | tg (π – t) = –tg t | ctg (π – t) = –ctg t |
cos (2π + t) = cos t | sin (2π + t) = sin t | tg (2π + t) = tg t | ctg (2π + t) = ctg t |
cos (2π – t) = cos t | sin (2π – t) = –sin t | tg (2π – t) = –tg t | ctg (2π – t) = –ctg t |
cos (π/2 + t) = –sin t | sin (π/2 + t) = cos t | tg (π/2 + t) = –ctg t | ctg (π/2 + t) = –tg t |
cos (π/2 – t) = sin t | sin (π/2 – t) = cos t | tg (π/2 – t) = ctg t | ctg (π/2 – t) = tg t |
cos (3π/2 + t) = sin t | sin (3π/2 + t) = –cos t | tg (3π/2 + t) = –ctg t | ctg (3π/2 + t) = –tg t |
cos (3π/2 – t) = –sin t | sin (3π/2 – t) = –cos t | tg (3π/2 – t) = ctg t | ctg (3π/2 – t) = tg t |
Примечание:
Часто встречаются более сложные выражения, но они не меняют правила.
Например, если cos (2π + t) = cos t, то cos (2π + 3t) = cos 3t.