Арккосинус
Арккосинус в переводе с латинского означает дуга и косинус. Это обратная функция.
При этом | a | ≤ 1. Обозначается так: arccos a. |
Говоря иначе:
arccos a = t. Следовательно, cos t = a. Условия: модуль а не больше 1; t не меньше 0, но не больше π (| a | ≤ 1; 0 ≤ t ≤ π) |
Пример-пояснение: Найдем arccos √2/2 (см.рисунок).
Решение.
Выражение arccos √2/2 показывает, что косинус угла t равен √2/2 (cos t = √2/2).
Далее просто находим точку этого косинуса на числовой окружности, что и является ответом:
число √2/2, являющееся значением оси х, соответствует точке π/4 на числовой окружности.
Значит, arccos √2/2 = π/4.
Обратите внимание:
если cos π/4 = √2/2, то arccos √2/2 = π/4.
То есть в первом случае по точке на числовой окружности определяем значение косинуса, а во втором – наоборот, по значению косинуса находим точку на числовой окружности. Движение в обратную сторону. Это и есть арккосинус.
Обобщим: косинус – это точка на оси х, а арккосинус – это соответствующая ей точка на окружности.
Формулы:
t = ± arccos a + 2πk, где k – любое целое число |
Пример 1: Вычислить арккосинус 1/2.
Решение.
Итак, а = 1/2. Значит, наша формула arccos a = t обретает конкретику:
arccos 1/2 = t.
Это означает, что косинус угла t равен 1/2:
cos t = 1/2.
При этом наша точка t находится на отрезке [0; π].
Находим значение t. Для этого смотрим на числовую окружность. Мы видим, что число 1/2 является абсциссой точки π/3 – то есть является косинусом угла π/3. Иначе говоря:
t = π/3.
Подставляем значение t в выражение cos t = 1/2:
cos π/3 = 1/2. При этом π/3 входит в отрезок [0; π].
Совершаем обратное действие: если cos π/3 = 1/2, то:
arccos 1/2 = π/3.
Без объяснений процесс решения будет таким:
arccos 1/2 = t
cos t = 1/2, t ∈ [0; π]
t = π/3, π/3 ∈ [0; π]
arccos 1/2 = π/3
Пример решен.
Обратите внимание: косинусом π/3 является 1/2, а арккосинусом 1/2 является π/3. Движение в обратную сторону. Косинусом числа является точка на оси координат, а арккосинусом – точка на числовой окружности.
√3
Пример 2: Найти arccos – ——
2
Решение.
√3
arccos (– ——) = t
2
√3
cos t = – ——, t ∈ [0; π]
2
√3
cos 5π/6 = – ——, 5π/6 ∈ [0; π]
2
√3 5π
arccos – —— = ——
2 6
Пример решен.
Акцентируем ваше внимание: косинусом 5π/6 является -√3/2, а арккосинусом -√3/2 является 5π/6.