Арксинус
Арксинус в переводе с латинского означает дуга и синус. Это обратная функция.
При этом | a | ≤ 1. Обозначается так: arcsin a. |
Говоря иначе:
arcsin a = t, следовательно sin t = a. Условия: модуль а не больше 1; t в отрезке [-π/2; π/2] (| a | ≤ 1; –π/2 ≤ t ≤ π/2) |
Пример-пояснение:
Найдем arcsin 1/2.
Решение.
Выражение arcsin 1/2 показывает, что синус угла t равен 1/2 (sin t = 1/2).
Далее просто находим точку этого синуса на числовой окружности, что и является ответом:
точка 1/2, находящася на оси у, соответствует точке π/6 на числовой окружности.
Значит, arcsin 1/2 = π/6.
Обратите внимание:
если sin π/6 = 1/2, то arcsin 1/2 = π/6.
То есть в первом случае по точке на числовой окружности находим значение синуса, а во втором – наоборот, по значению синуса находим точку на числовой окружности. Движение в обратную сторону. Это и есть арксинус.
Формулы.
(1)
t = π – arcsin a + 2πk Эти две формулы можно объединить в одну: (k – любое целое число; n – любое целое число; | a | ≤ 1) Значение четного n: Значение нечетного n: Если n – четное число, то получается первая формула. Если n – нечетное число, то получается вторая формула. |
(2)
|
√2
Пример 1: Вычислить arcsin (– ——).
2
Решение.
Решая пример, следуем буквально по таблице над нашим примером.
Итак:
√2
а = – ——.
2
√2
Тогда sin t = – ——, при этом t входит в отрезок [–π/2; π/2]
2
π
Значит t = – —— (входит в отрезок [–π/2; π/2])
4
√2 π
Ответ: arcsin (– ——) = – —
2 4
Акцентируем ваше внимание: синусом числа –π/4 является -√2/2, а арксинусом -√2/2 является –π/4. Движение в обратном порядке. Cинусом числа является точка на оси координат, а арксинусом – точка на числовой окружности.
√3
Пример 2: Вычислить arcsin ——
2
Решение.
√3
Пусть arcsin —— = t.
2
√3
Тогда sin t = ——.
2
Точка t находится в отрезке [–π/2; π/2]. Вычисляем значение t.
√3
Число —— соответствует значению sin π/3, при этом π/3 находится в отрезке [–π/2; π/2].
2
Значит:
t = π/3.
Итог:
√3
arcsin —— = π/3.
2
Пример решен.