Простейшие тригонометрические уравнения
Тригонометрическое уравнение – это уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции.
Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида
sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a, где a – действительное число (a ∈ R).
Уравнение cos x = a.
Принцип:
arccos a = x. Следовательно, cos x = a. Условия: модуль а не больше 1; x не меньше 0, но не больше π (| a | ≤ 1; 0 ≤ x ≤ π) |
Формулы:
arccos (-a) = π – arccos a, где 0 ≤ a ≤ 1 |
Пример 1: Решим уравнение
√3
cos x = ——.
2
Решение.
Применим первую формулу:
√3
x = ± arccos —— + 2πk
2
Сначала находим значение арккосинуса:
√3 π
arccos —— = —
2 6
Осталось подставить этот число в нашу формулу:
π
x = ± —— + 2πk
6
Пример решен.
Пример 2: Решим уравнение
√3
cos x = – ——.
2
Решение.
Сначала применим первую формулу из таблицы:
√3
x = ± arccos (– —) + 2πk
2
Теперь с помощью второго уравнения вычислим значение арккосинуса:
√3 √3 π π π 6π π 5π
arccos (– ——) = π – arcos —— = π – — = — – — = — – — = ——
2 2 6 1 6 6 6 6
Применяя формулу для -а, обращайте внимание на знак а: он меняется на противоположный.
Осталось подставить значение арккосинуса и решить пример:
5π
x = ± —— + 2πk
6
Пример решен.
Уравнение sin x = a.
Принцип:
arcsin a = x, следовательно sin x = a. Условия: модуль а не больше 1; x в отрезке [-π/2; π/2] (| a | ≤ 1; –π/2 ≤ x ≤ π/2) |
Формулы.
(1 из 3)
x = π – arcsin a + 2πk
Эти две формулы можно объединить в одну:
(k – любое целое число; n – любое целое число; | a | ≤ 1) Значение четного n: n = 2k Значение нечетного n: n = 2k + 1 Если n – четное число, то получается первая формула. Если n – нечетное число, то получается вторая формула. |
√3
Пример 1: Решить уравнение sin x = ——
2
Решение.
Применяем первые две формулы:
√3
1) x = arcsin —— + 2πk
2
√3
2) x = π – arcsin —— + 2πk
2
Находим значение арксинуса:
√3 π
arcsin —— = —
2 3
Осталось подставить это значение в наши формулы:
π
1) x = — + 2πk
3
π 2π
2) x = π – — + 2πk = —— + 2πk
3 3
Пример решен.
Пример 2: Решим это же уравнение с помощью общей формулы.
Решение.
π
x = (–1)n — + πn
3
Пояснение: если n будет четное число, то решение примет вид № 1; если n будет нечетным числом – то вид №2.
Пример решен.
(2 из 3)
Для трех случаев есть и более простые решения:
Если sin x = 0, то x = πk Если sin x = 1, то x = π/2 + 2πk Если sin x = –1, то x = –π/2 + 2πk |
Пример 1: Вычислим arcsin 0.
Решение.
Пусть arcsin 0 = x.
Тогда sin x = 0, при этом x ∈ [–π/2; π/2].
Синус 0 тоже равен 0. Значит:
x = 0.
Итог:
arcsin 0 = 0.
Пример решен.
Пример 2: Вычислим arcsin 1.
Решение.
Пусть arcsin 1 = x.
Тогда sin x = 1.
Число 1 на оси ординат имеет имя π/2. Значит:
arcsin 1 = π/2.
Пример решен.
(3 из 3)
|
Пример: Решить уравнение
√3
sin x = – ——
2
Решение.
Применяем формулы:
√3
1) x = arcsin (– ——) + 2πk
2
√3
2) x = π – arcsin (– ——) + 2πk
2
Находим значение арксинуса:
√3 √3 π
arcsin (– ——) = – arcsin (——) = – —
2 2 3
Подставляем это значение arcsin в обе формулы:
π
1) x = – — + 2πk
3
π π 4π
2) x = π – (– —) + 2πk = π + — + 2πk = —— + 2πk
3 3 3
Пример решен.
Уравнение tg x = a.
Принцип:
arctg a = x, следовательно tg x = a. Условие: x больше –π/2, но меньше π/2 (–π/2 < x < π/2) |
Формулы.
(1)
x = arctg a + πk где k – любое целое число (k ∈ Z) |
(2)
|
Пример 1: Вычислить arctg 1.
Решение.
Пусть arctg 1 = x.
Тогда tg x = 1, при этом x ∈ (–π/2; π/2)
Следовательно:
π π
x = — при этом — ∈ (–π/2; π/2)
4 4
π
Ответ: arctg 1 = —
4
Пример 2: Решить уравнение tg x = –√3.
Решение.
Применяем формулу:
x = arctg (–√3) + πk
Решаем:
arctg (–√3) = –arctg √3 = –π/3.
Подставляем:
x = –π/3 + πk.
Пример решен.
Уравнение ctg x = a.
Принцип:
arcctg a = x, следовательно ctg x = a. Условие: x больше 0, но меньше π (0 < x < π) |
Формулы.
(1)
x = arcctg a + πk (k ∈ Z) |
(2)
|
Пример 1: Вычислить arcctg √3.
Решение.
Следуем принципу:
arcctg √3 = х
ctg х = √3.
х = π/6.
Ответ: arcctg √3 = π/6
Пример 2: Вычислить arcctg (–1).
Решение.
Применяя формулу (2), обращайте внимание на знак а: он меняется на противоположный. В нашем примере –1 меняется на 1:
arcctg (–1) = π – arcctg 1 = π – π/4 = 3π/4.
Пример решен.