Простейшие тригонометрические уравнения: обобщения, таблицы значений x, примеры
Уравнение sin x = a
Условия:
1) | a | ≤ 1
2) при | a | > 1 уравнение sin x = a не имеет решения среди действительных чисел.
Формула решения уравнения sin x = a:
x = (-1)n · arcsin α + πn где n – любое целое число (n ∈ Z). |
Частные случаи, когда уравнение sin x = а имеет более простое решение:
| |
|
|
|
|
|
|
Остальные значения x в уравнении sin x = а:
| | |
1 | π | 5π |
1 | π | 5π |
√2 | π | 3π |
√2 | π | 3π |
√3 | π | 2π |
√3 | π | 2π |
Уравнение cos x = a
Условия:
1) | a | ≤ 1
2) при | a | > 1 уравнение sin x = a не имеет решения среди действительных чисел.
Формула решения уравнения cos x = a:
x = ± arccos α + 2πk где k – любое целое число (k ∈ Z). |
Частные случаи, когда уравнение cos x = а имеет более простое решение:
| |
| π |
| |
| |
Остальные значения x в уравнении cos x = а:
|
| |
1 | π | π |
1 | 2π | 2π |
√2 | π | π |
√2 | 3π | 3π |
√3 | π | π |
√3 | 5π | 5π |
Уравнения tg x = a и ctg x = a.
Формула решения уравнения tg x = a:
x = arctg a + πk где a – любое действительное число (a ∈ R), k – любое целое число (k ∈ Z). |
Формула решения уравнения ctg x = a:
x = arcctg a + πk где a – любое действительное число (a ∈ R), k – любое целое число (k ∈ Z). |
Значения x в уравнениях tg x = а и ctg x = а:
|
| |
| | |
√3 | | π |
√3 | | π |
| | π |
| | π |
| √3 | π |
| √3 | π |
| | π |
Примеры.
1) Решим уравнение
√2
sin 3x = ——
2
Решение.
Для простоты заменим переменную 3x обобщенной переменной t. Итак:
3x = t .
Тогда наше уравнение принимает привычный вид:
√2
sin t = ——
2
Применяем формулу:
√2
t = (–1)n arcsin —— + πn
2
Находим значение арксинуса:
√2 π
arcsin —— = —
2 4
Подставляем это значение арксинуса:
π
t = (–1)n — + πn
4
Теперь вместо t вновь подставляем переменную 3x:
π
3x = (–1)n — + πn
4
Находим значение переменной, применяя правило деления дробей:
π π 1 πn π πn
x = (–1)n — : 3 + πn : 3 = (–1)n — ∙ — + —— = (–1)n —— + ——
4 4 3 3 12 3
Ответ:
π πn
x = (–1)n —— + ——
12 3
2) Решим уравнение
1
cos 2x = – —
2
Решение.
Напомним: решать пример будем по формуле
x = ± arccos a + 2πn.
Для простоты можем заменить 2x на t. Тогда наша формула примет вид t = ± arccos a + 2πn. Но в данном случае можем обойтись и без этого.
Итак, вычисляем значение арккосинуса:
1 2π
2x = ± arccos (– —) + 2πn = ± —— + 2πn
2 3
Находим значение x, применяя правило деления дробей:
2π 2π 1 2π π
x = ± —— : 2 + 2πn : 2 = ± —— ∙ — + πn = ± —— + πn = ± — + πn
3 3 2 6 3
Ответ:
π
x = ± — + πn
3
3) Решим уравнение
π √3
tg (4x – —) = ——
6 3
Решение.
Напомним: здесь мы применяем формулу
x = arctg a + πn.
Чтобы не запутаться при следующем шаге, заменим в формуле переменную x на переменную t:
t = arctg a + πn.
Далее отмечаем, что:
π
t = (4x – —).
6
Тогда наше уравнение принимает следующий вид:
π √3
4x – — = arctg —— + πn.
6 3
Находим значение арктангенса:
√3 π
arctg —— = —
3 6
Подставляем значение арктангенса в нашу формулу:
π π
4x – — = — + πn.
6 6
Находим значение 4x:
π π 2π π
4x = — + — + πn = —— + πn = — + πn
6 6 6 3
Осталось найти значение x, применяя правило деления дробей:
π π 1 πn π πn
x = — : 4 + πn : 4 = — ∙ — + —— = —— + ——
3 3 4 4 12 4
Ответ:
π πn
x = —— + ——, n ∈ Z
12 4