Методы решения тригонометрических уравнений

1. Метод введения новой переменной.

Пример 1: Решим уравнение

2 sin² x + sin x – 1 = 0

Решение.

Вводим новую переменную sin x = y. Тогда мы получаем обычное квадратное уравнение:

2y² + y – 1 = 0.

Решаем его:

D = b² – 4ac = 1 – 4 ∙ 2 ∙ (–1) = 1 + 8 = 9

√D = 3

         –b + √D         –1 + 3      1
y₁ = ————  =  ——— = —
             2a                  4          2

         –1 – 3
y₂ = ——— = –1
            4

Таким образом:

            1
sin x = —   и   sin x = –1
            2

Поскольку речь идет о синусе, то подставляем эти значения в формулы с арксинусом, вычисляем значения арксинусов и находим значения x:

1) x = (–1)ⁿ arcsin a + πk  =  (–1)ⁿ arcsin 1/2 + πk  =  (–1)ⁿ π/6 + πk

2) x = arcsin а + 2πn  = arcsin (–1) + 2πn = –π/2 + 2πn

Ответ:
x = (–1)ⁿ π/6 + πk,  k ∈ Z
x = –π/2 + 2πn,  n ∈ Z

Пример 2: Решим уравнение

6 sin² x + 5 cos x – 2 = 0.

Решение:

Мы знаем, что

sin² x + cos² x = 1.

Отсюда выводим значение sin² x:

sin² x = 1 – cos² x.

Вводим это значение sin² x в наш пример:

6 (1 – cos² x) + 5 cos x – 2 = 0.

Раскрываем скобки:

6 – 6 cos² x + 5 cos x – 2 = 0.

Сводим подобные члены:

4 – 6 cos² x + 5 cos x  = 0.

Поменяем местами слагаемые от большей степени к меньшей (как того требует правило):

– 6 cos² x + 5 cos x + 4 = 0.

Введем опять новую переменную y =  cos x и в результате получим квадратное уравнение:

 – 6у² + 5у + 4 = 0.

Решив его, находим корни:

          1
у = – —
          2

или
          1
у = 1 —
          3

Символом у мы заменили cos. Значит, теперь разберемся с ним.

Рассмотрим вариант

                1
cos x = 1 —
                3

Мы видим, что в этом случае cos x больше 1 (cos x > 1). А значит, это уравнение корней не имеет (значение косинуса должно быть не меньше –1, но не больше 1).

В другом уравнении cos x меньше 1 (cos x < 1). Значит, решаем его.

Сначала находим значение арккосинуса:

               1       2π
arccos – — = ——
               2        3

Осталось найти x:

                                        2π
x = ± arccos x +  2πk = ——  +  2πk,  k ∈ Z
                                         3

2. Метод разложения на множители.

Смысл в том, чтобы, разложив уравнение на множители, прийти к двум и более уравнениям, равным нулю. Затем среди них можно найди решение. То есть задача сводится к решению совокупности уравнений.

Пример: Решим уравнение

2 sin x/2 cos 5x – cos 5x = 0.

Решение.

Находим общий множитель. Это cos 5x. Выносим его за скобки:

cos 5x (2 sin x/2 – 1) = 0.

Уравнение верно, если хотя бы один из множителей равен 0. Значит, приравняем оба множителя к нулю:

cos 5x = 0

2 sin x/2 – 1 = 0.

Находим значение х в первом уравнении.

Так как 5х = π/2 + πn, то:

х = π/10 + πn/5.

Находим значение х во втором уравнении:

sin x/2 = 1/2,

x/2 = (-1)ⁿ π/6 + πn,

x = (-1)ⁿ π/3 + 2πn.

Ответ:

х = π/10 + πn/5

x = (-1)ⁿ π/3 + 2πn,

n ∈ Z.