Методы решения тригонометрических уравнений
1. Метод введения новой переменной.
Пример 1: Решим уравнение
2 sin2 x + sin x – 1 = 0
Решение.
Вводим новую переменную sin x = y. Тогда мы получаем обычное квадратное уравнение:
2y2 + y – 1 = 0.
Решаем его:
D = b2 – 4ac = 1 – 4 ∙ 2 ∙ (–1) = 1 + 8 = 9
√D = 3
–b + √D –1 + 3 1
y1 = ———— = ——— = —
2a 4 2
–1 – 3
y2 = ——— = –1
4
Таким образом:
1
sin x = — и sin x = –1
2
Поскольку речь идет о синусе, то подставляем эти значения в формулы с арксинусом, вычисляем значения арксинусов и находим значения x:
1) x = (–1)n arcsin a + πk = (–1)n arcsin 1/2 + πk = (–1)n π/6 + πk
2) x = arcsin а + 2πn = arcsin (–1) + 2πn = –π/2 + 2πn
Ответ:
x = (–1)n π/6 + πk, k ∈ Z
x = –π/2 + 2πn, n ∈ Z
Пример 2: Решим уравнение
6 sin2 x + 5 cos x – 2 = 0.
Решение:
Мы знаем, что
sin2 x + cos2 x = 1.
Отсюда выводим значение sin2 x:
sin2 x = 1 – cos2 x.
Вводим это значение sin2 x в наш пример:
6 (1 – cos2 x) + 5 cos x – 2 = 0.
Раскрываем скобки:
6 – 6 cos2 x + 5 cos x – 2 = 0.
Сводим подобные члены:
4 – 6 cos2 x + 5 cos x = 0.
Поменяем местами слагаемые от большей степени к меньшей (как того требует правило):
– 6 cos2 x + 5 cos x + 4 = 0.
Введем опять новую переменную y = cos x и в результате получим квадратное уравнение:
– 6у2 + 5у + 4 = 0.
Решив его, находим корни:
1
у = – —
2
или
1
у = 1 —
3
Символом у мы заменили cos. Значит, теперь разберемся с ним.
Рассмотрим вариант
1
cos x = 1 —
3
Мы видим, что в этом случае cos x больше 1 (cos x > 1). А значит, это уравнение корней не имеет (значение косинуса должно быть не меньше –1, но не больше 1).
В другом уравнении cos x меньше 1 (cos x < 1). Значит, решаем его.
Сначала находим значение арккосинуса:
1 2π
arccos – — = ——
2 3
Осталось найти x:
2π
x = ± arccos x + 2πk = —— + 2πk, k ∈ Z
3
2. Метод разложения на множители.
Смысл в том, чтобы, разложив уравнение на множители, прийти к двум и более уравнениям, равным нулю. Затем среди них можно найди решение. То есть задача сводится к решению совокупности уравнений.
Пример: Решим уравнение
2 sin x/2 cos 5x – cos 5x = 0.
Решение.
Находим общий множитель. Это cos 5x. Выносим его за скобки:
cos 5x (2 sin x/2 – 1) = 0.
Уравнение верно, если хотя бы один из множителей равен 0. Значит, приравняем оба множителя к нулю:
cos 5x = 0
2 sin x/2 – 1 = 0.
Находим значение х в первом уравнении.
Так как 5х = π/2 + πn, то:
х = π/10 + πn/5.
Находим значение х во втором уравнении:
sin x/2 = 1/2,
x/2 = (-1)n π/6 + πn,
x = (-1)n π/3 + 2πn.
Ответ:
х = π/10 + πn/5
x = (-1)n π/3 + 2πn,
n ∈ Z.