Функции y = sin x, y = cos x, y = mf(x), y = f(kx), y = tg x, y = ctg x
Функция y = sin x
Графиком функции является синусоида.
Полную неповторяющуюся часть синусоиды называют волной синусоиды.
Половину волны синусоиды называют полуволной синусоиды (или аркой).
Свойства функции y = sin x:
1) Область определения функции – множество действительных чисел. 2) Область значений функции – отрезок [–1; 1] 3) Это нечетная функция. 4) Это непрерывная функция. 5) Координаты точек пересечения графика: 6) На отрезке [-π/2; π/2] функция возрастает, на отрезке [π/2; 3π/2] – убывает. 7) На промежутках [2πn; π + 2πn] функция принимает положительные значения. 8) Промежутки возрастания функции: [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn]. 9) Точки минимума функции: -π/2 + 2πn. наибольшее значение 1. 11) Это периодическая функция с периодом 2π (Т = 2π) |
Для построения графика функции y = sin x удобно применять следующие масштабы:
- на листе в клетку за единицу отрезка примем длину в две клетки.
- на оси x отмерим длину π. При этом для удобства 3,14 представим в виде 3 – то есть без дроби. Тогда на листе в клетку π составит 6 клеток (трижды по 2 клетки). А каждая клетка получит свое закономерное имя (от первой до шестой): π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Это значения x.
- на оси y отметим 1, включающий две клетки.
Составим таблицу значений функции, применяя наши значения x:
|
0 | π | π | π | 2π | 5π | |
| | 1 | √3 | | √3 | 1 | |
Далее составим график. Получится полуволна, наивысшая точка которой (π/2; 1). Это график функции y = sin x на отрезке [0; π]. Добавим к построенному графику симметричную полуволну (симметричную относительно начала координат, то есть на отрезке -π). Гребень этой полуволны – под осью x с координатами (-1; -1). В результате получится волна. Это график функции y = sin x на отрезке [-π; π].
Можно продолжить волну, построив ее и на отрезке [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π] и т.д. На всех этих отрезках график функции будет выглядеть так же, как на отрезке [-π; π]. Получится непрерывная волнистая линия с одинаковыми волнами.
Функция y = cos x.
Графиком функции является синусоида (ее иногда называют косинусоидой).
Свойства функции y = cos x:
1) Область определения функции – множество действительных чисел. 2) Область значений функции – отрезок [–1; 1] 3) Это четная функция. 4) Это непрерывная функция. 5) Координаты точек пересечения графика: 6) На отрезке [0; π] функция убывает, на отрезке [π; 2π] – возрастает. 7) На промежутках [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] функция принимает положительные значения. 8) Промежутки возрастания: [-π + 2πn; 2πn]. 9) Точки минимума функции: π + 2πn. наибольшее значение 1. 11) Это периодическая функция с периодом 2π (Т = 2π) |
Функция y = mf(x).
Возьмем предыдущую функцию y = cos x. Как вы уже знаете, ее графиком является синусоида. Если мы умножим косинус этой функции на определенное число m, то волна растянется от оси x (либо сожмется, в зависимости от величины m).
Эта новая волна и будет графиком функции y = mf(x), где m – любое действительное число.
Таким образом, функция y = mf(x) – это привычная нам функция y = f(x), умноженная на m.
Если m < 1, то синусоида сжимается к оси x на коэффициент m. Если m > 1, то синусоида растягивается от оси x на коэффициент m.
Выполняя растяжение или сжатие, можно сначала построить лишь одну полуволну синусоиды, а затем уже достроить весь график.
Функция y = f(kx).
Если функция y = mf(x) приводит к растяжению синусоиды от оси x либо сжатию к оси x, то функция y = f(kx) приводит к растяжению от оси y либо сжатию к оси y.
Причем k – любое действительное число.
При 0 < k < 1 синусоида растягивается от оси y на коэффициент k. Если k > 1, то синусоида сжимается к оси y на коэффициент k.
Составляя график этой функции, можно сначала построить одну полуволну синусоиды, а по ней достроить затем весь график.
Функция y = tg x.
Графиком функции y = tg x является тангенсоида.
Достаточно построить часть графика на промежутке от 0 до π/2, а затем можно симметрично продолжить ее на промежутке от 0 до 3π/2.
Свойства функции y = tg x:
1) Область определения функции – множество всех действительных чисел, кроме чисел вида Это означает, что на графике функции нет точки, принадлежащей прямой x = π/2, 2) Область значений функции (–∞; +∞) 3) Это нечетная функция. 4) Это непрерывная функция на интервале (–π/2; π/2). 5) Это периодическая функция с основным периодом π (Т = π) 6) Функция возрастает на интервале (–π/2; π/2). 7) Функция не ограничена ни сверху, ни снизу. Не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значений. |
Функция y = ctg x
Графиком функции y = ctg x также является тангенсоида (ее иногда называют котангенсоидой).
Свойства функции y = ctg x:
1) Область определения функции – множество всех действительных чисел, кроме чисел вида 2) Область значений функции (–∞; +∞) 3) Это нечетная функция. 4) Это непрерывная функция. 5) Это периодическая функция с основным периодом π (Т = π) 6) Функция убывает в промежутке (πk; π + πk), где k – любое целое число. 7) Функция не ограничена ни сверху, ни снизу. Не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значений. |