Внеклассный урок - Предел последовательности. Виды последовательности.

Предел последовательности

Предел последовательности – это число, в окрестности которой содержатся все члены последовательности.

Пример: Пределом последовательности чисел 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 и т.д. является 0.
Пояснение: ряд чисел стремится к нулю и ниже нуля не опустится.

Не любая последовательность имеет предел. К примеру, последовательность 1, 2, 3, 4, 5, 6 и т.д. бесконечна и не имеет предела.

Свойство последовательности иметь или не иметь предел называется сходимостью. Если у последовательности есть предел, то говорят, что она сходится. Если у последовательности нет предела, то говорят, что она расходится.

Случай, когда последовательность не имеет предела.

Если |q| > 1, то последовательность y_n = qⁿ расходится и не имеет предела.

Пример: Пусть q = 3. Тогда мы можем создать следующую последовательность чисел:

3²; 3³; 3⁴; 3⁵; 3⁶; 3⁷ и т.д. Ряд стремится к бесконечности. Предела нет.

Виды последовательности.

Последовательность (y_n) называется ограниченной снизу, если все ее члены не меньше некоторого числа.

Для любого n выполняется неравенство y_n ≥ m

Последовательность (y_n) называется ограниченной сверху, если все ее члены не больше некоторого числа.

Для любого n выполняется неравенство y_n ≤ М

Если каждый член последовательности y_n больше предыдущего, то это возрастающая последовательность.

Если а > 1, то последовательность y_n = aⁿ возрастает.

Пример: y₁ < y₂ < y₃ < y₄ < y₅…

Если каждый член последовательности меньше предыдущего, то это убывающая последовательность.

Если 0 < a < 1, то последовательность убывает.

Пример: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5…

Теорема.

Если lim x_n = b, lim y_n = c, то
^n→∞^n→∞

1) предел суммы равен сумме пределов:

lim (x_n + y_n) = b + c
^n→∞

2) предел произведения равен произведению пределов:

lim (x_n y_n) = bc
^n→∞

3) предел частного равен частному пределов:

lim (x_n/y_n) = b/c, при c ≠ 0
^n→∞

4) постоянный множитель можно вынести за знак предела:

lim (kx_n) = kb
^n→∞

Пример 1: Найти предел последовательности

d_n = 6/n – 4/n² + 8.

Решение:

lim 6/n – lim 4/n² + lim 8 = 0 – 0 + 8 = 8.
^{n→∞ n→∞ n→∞}

Пример решен.

Пример 2: Найти предел последовательности

           2n² + 3
lim    ————
^n→∞    n² + 4

Решение.

Разделим числитель и знаменатель дроби на n², произведем сокращения и получим ответ:

           2n²/n² + 3/n²                    2 + 3/n²           2 + 0
lim   ———————   = lim   ————— = ———— = 2.
^n→∞ n²/n² + 4/n²          ^n→∞ 1 + 4/n²          1 + 0

Пример решен.

Сайт создан в системе uCoz