Приращение аргумента и функции

На оси Х – две точки: x₀ и x₁ (рис.1). Если от x₁ отнимем x₀, то узнаем длину шага между ними – а говоря иначе, узнаем, на сколько приросла точка x₀ в точке x₁. Эта разность между двумя заданными точками оси X и называется приращением аргумента.

Точки x₀ и x₁ образуют на оси Y соответственно точки у₀ и у₁. Если от  у₁ отнять у₀, то мы получим приращение функции.

  
Итак, в функции y = f(x) относительно определенных точек x₀ и x₁:
разность x₁ – x₀ называется приращением аргумента, а разность у₁ – у₀ называется приращением функции.

Но у₀ и у₁ – зависимые переменные (зависимые от значений х). То есть их правильно записывать так: f(x₀) и f(x₁). Следовательно, приращение функции – это разность f(x₁) – f(x₀).

Приращение обозначается греческой буквой Δ (дельта):

Δx = x₁ – x₀;

Δy (или Δ f) = f(x₁) – f(x₀).

Можно сказать и иначе: если к x₀ прибавить величину приращения Δx, то мы получим точку x₁.
То есть x₁ = x₀ + Δx (рис.2).
Тогда точку f(x₁), отмеченную на первом рисунке как у₁, тоже можно обозначить иначе:
f(x₀ + Δx).

Осталось вывести формулу приращения функции.

Формула приращения функции:

Пример: Дана функция y = x². На оси абсцисс – две точки:
х₀ = 3,
(х₀ + Δx) = 4.
Надо найти приращение функции при переходе от точки х₀ к точке (х₀ + Δx).

Решение.

Итак, мы хотим найти Δy.

Сначала определимся с функцией:
так как у = f(x), то f(x) = x².

Теперь вычисляем приращение аргумента:
Δx = (х₀ +  Δx) – х₀ = 4 – 3 = 1

Находим значения функции при х₀ = 3 и (х₀ +  Δx) = 4:
f(x₀) = f(3) = 3² = 9
f(x₀ + Δx) = f(4) = 4² = 16

Осталось найти приращение функции:
Δy = f(x₀ + Δx) – f(x₀) = f(4) – f(3) = 16 – 9 = 7.

Ответ: Δy = 7.