Дифференцирование функции y = f(kx + m)

До сих пор мы имели дело с простыми функциями вида y = f(x).

Но теперь перед нами сложная функция: y = f(kx + m). Она осложнена линейной функцией. Это не функция от х, а функция от функции от х.
Как же ее дифференцировать?

Начнем с главного – c формулы дифференцирования этой функции. Затем поясним ее на примерах, сделаем выводы и составим таблицу формул дифференцирования для частных случаев.

Производную функции y = f(kx + m) вычисляют по формуле:

Поясним на примерах.

Пример 1. Найдем производную функции у = (3х + 4)².

Решение.

Из предыдущих разделов мы знаем, что

1) производная линейной функции равна коэффициенту k:
(kx + m)′ = k;

2) производная х² равна 2х:
(х²)′ = 2х.

Заметим, что теперь вместо х у нас сложный аргумент. Но производная вычисляется по той же схеме. Это значит, что производная нашего аргумента выглядит так: 2(3х + 4).

Чтобы найти производную от заданной функции, нам надо учесть все эти обстоятельства.

Итак,

1) в нашем примере производная линейной функции равна коэффициенту 3;

2) умножаем коэффициент на производную аргумента и получаем ответ:

((3х + 4)²)′ = 3 · 2(3х + 4) = 6(3х + 4).

Пример решен.

Вывод.

Легко заметить, что дифференцирование функции y = f(kx + m) на самом деле осуществляется одним действием: коэффициент k умножается на производную сложного аргумента.

Пример 2. Найдем производную функции f(x) = cos(kx + m).

Решение.

(cos(kx + m))′ = k · (–sin (kx + m)) = – k sin (kx + m).

Пример решен.

Во втором примере мы вычислили производную для синусов в общем виде – тем самым вывели одну из формул дифференцирования функции y = f(kx + m). Все основные формулы приводим в таблице. От формул для простых функций они отличаются лишь тем, что умножаются на коэффициент k, а вместо х имеют аргумент kx + m.