Четырехугольники

Четырехугольник – это фигура, состоящая из четырех точек, которые последовательно соединены четырьмя отрезками. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Данные точки называются вершинами четырехугольника, а соединяющие их отрезки – сторонами четырехугольника.

Параллелограмм.

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны (рис.1).

Теорема:
Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Свойства параллелограмма:

1) У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.

2) Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

3) Сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон:

d₁² + d₂² = 2(a² + b²),

где d₁ и d₂ – диагонали параллелограмма, a и b – смежные стороны.

Прямоугольник.

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые (рис.2).

Теорема:
Диагонали прямоугольника равны.

  Ромб.

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны (рис.3).

Теорема:
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Квадрат.

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны (рис.4).

Квадрат обладает свойствами прямоугольника и ромба.

Свойства квадрата:
1.У квадрата все углы прямые.
2.Диагонали квадрата равны.
3.Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.

Трапеция.

Трапеция – это четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны (рис.5).

Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми сторонами.

Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

Теорема:
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.