Окружность
Окружность – это фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки.
Основные понятия:
Центр окружности – это точка, равноудаленная от точек окружности.
Радиус – это расстояние от точек окружности до ее центра (равен половине диаметра, рис.1).
Диаметр – это хорда, проходящая через центр окружности (рис.1).
Хорда – это отрезок, соединяющий две точки окружности (рис.1).
Касательная – это прямая, имеющая только одну общую точку с окружностью. Проходит через точку окружности перпендикулярно диаметру, проведенному в эту точку (рис.1).
Секущая – это прямая, проходящая через две различные точки окружности (рис.1).
Единичная окружность – это окружность, радиус которой равен единице.
Дуга окружности – это часть окружности, разделенная двумя несовпадающими точками окружности.
1 радиан – это угол, образуемый дугой окружности, равной длине радиуса (рис.4).
1 радиан = 180˚ : π ≈ 57,3˚
Центральный угол – это угол с вершиной в центре окружности. Равен градусной мере дуги, на которую опирается (рис.2).
Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. Равен половине градусной меры дуги, на которую опирается (рис.3).
Две окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими.
Две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными.
Длина окружности и площадь круга:
Обозначения:
Длина окружности – C
Длина диаметра – d
Длина радиуса – r
Значение π:
Отношение длины окружности к длине ее диаметра обозначается греческой буквой π (пи).
π = 3,1416
Или:
π = 3,14
Или:
22
π = —
7
Формула длины окружности:
C = πd, или C = 2πr
Формулы площади круга:
S = πr2
C · r
S = ——
2
π · D2
S = ———
4
Площадь кругового сектора и кругового сегмента.
Круговой сектор – это часть круга, лежащая внутри соответствующего центрального угла. πR2 где π – постоянная величина, равная 3,1416; R – радиус круга; α – градусная мера соответствующего центрального угла. Круговой сегмент – это общая часть круга и полуплоскости. πR2 где α – градусная мера центрального угла, который содержит дугу этого кругового сегмента; SΔ - площадь треугольника с вершинами в центре круга и в концах радиусов, ограничивающих соответствующий сектор. Знак «минус» надо брать, когда α < 180˚, а знак «плюс» надо брать, когда α > 180˚. |
Уравнение окружности в декартовых координатах x, y c центром в точке (a;b):
(x – a)2 + (y – b)2 = R2
Окружность, описанная около треугольника (рис.4).
Если от середины каждой из сторон треугольника провести перпендикуляры, то точка их пересечения будет центром окружности, описанной около этого треугольника.
|
Окружность, вписанная в треугольник (рис.5).
Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения биссектрис этого треугольника. |
Углы, вписанные в окружность (рис.3).
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в окружность.
Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла. |
Основные понятия:
Угол делит плоскость на две части. Каждая из этих частей называется плоским углом.
Плоские углы с общими сторонами называются дополнительными.
Плоский угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом (рис.2)
Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности.
Если хорды AB и CD окружности пересекаются в точке S, то AS · BS = CS · DS. (рис.6) |
Если из точки P к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность соответственно в точках A, B и C, D, то AP · BP = CP · DP (рис.7) |
Частные случаи и формулы:
1) Из точки C, находящейся вне окружности, проведем касательную к окружности и обозначим точку их соприкосновения буквой D.
Затем из той же точки C проведем секущую и точки пересечения секущей и окружности обозначим буквами А и B (рис.8).
В этом случае:
CD2 = AC · BC
2) Проведем в окружности диаметр AB. Затем из точки C, находящейся на окружности, проведем перпендикуляр к этому диаметру и обозначим получившийся отрезок CD (рис.9).
В этом случае:
CD2 = AD · BD.