Теорема косинусов
(1)
Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: a2 = b2 + c2 – 2b · c · cos bc |
Пусть a = BC, b = AB, c = AC.
Тогда наша формула обретает более предметный вид:
BC2 = AB2 + AC2 – 2AB2 · AC · cos A
Если провести проекцию стороны AC, то окажется, что AC · cos A по абсолютной величине равно этой проекции (обозначим ее AD). Значит, нашу формулу можно записать и иначе:
BC2 = AB2 + AC2 – 2AB2 · AD.
Знак AC · cos A зависит от угла А, который может быть острым или тупым. В одном случает оно будет со знаком «плюс» (+), в другом – с ознаком «минус» (–).
Соберем все сказанное в новую теорему:
(2)
Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон плюс-минус удвоенное произведение одной из них на проекцию другой. Знак «+» надо брать, когда противолежащий угол тупой, а знак «–», когда угол острый. a2 = b2 + c2 ± 2c · AD |