Векторы

Вектором называют направленный отрезок. Направление вектора отмечается стрелкой: →

Координаты и обозначение вектора.

Обозначим точку начала вектора буквой a₁, а точку конца вектора – буквой а₂. Тогда вектор а записывается так:

 →                           _____
  a (a₁; a₂)    или    (a₁;a₂)

Читается так: вектор а с координатами а₁, а₂.

Сложение векторов.

Суммой векторов  a  и  b с координатами a₁, a₂ и b₁, b₂ называется вектор c, имеющий координаты

a₁ + b₁, a₂ + b₂.

То есть:

 _                  _                  _
 a (a₁; a₂) + b (b₁; b₂) = c (a₁ + b₁; a₂ + b₂).

Разность векторов.

c₁ = a₁ – b₁;    c₂ = a₂ – b₂.

Умножение вектора на число.

                                           _____                                                       _______
 Произведением вектора (a₁;a₂)  на число λ называется вектор (λa₁; λa₂).

То есть:

      ____       _______
 λ (a₁;a₂) = (λa₁; λa₂).

Из этой операции следует:

 1) для любого вектора а и чисел λ, μ верно выражение:
             _       _       _
 (λ + μ) а = λа + μа.

2) для любых двух векторов a и b и числа λ верно выражение:
     _      _       _        _
 λ (a  +  b) = λа  +  λb

Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением векторов a (a₁; a₂) и b (b₁; b₂) называется число a₁b₁ + a₂b₂.

Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними:

 _ _     _  _
 a b = |a| |b| cos φ.

Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.

Коллинеарные векторы.

Два ненулевых вектора, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Коллинеарные векторы могут быть направлены либо одинаково, либо противоположно.